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唯一矩形（UR）
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唯一矩形（UR）
前置知識：唯一矩形依賴“題目只有唯一解”。如果你還沒看過“唯一解”的説明，建議先從這裏開始：
唯一解
1. 描述
唯一矩形（Unique Rectangle，簡稱 UR）是一類利用“唯一解”來刪數或出數的技巧。
它關注的是一個很典型的“危險形狀”：
- 四個格子組成一個 2×2 的矩形（兩行 × 兩列，且只落在兩個宮裏）
- 這四個格子裏，都同時包含同一對候選數字（比如 1 和 7）
如果我們放任這四格只剩這對數字，就可能出現“兩種都能填得通”的情況（例如 1/7 對調），從而破壞唯一解。
所以在唯一解的前提下，我們就能反過來推出：某些候選必須刪除，甚至某個格子必須出數。
2. 詳解
下面的 5 張圖分別對應 UR 的 5 種常見類型（應用內提示也會寫成 I～V）。
閲讀時你只需要跟着顏色看：
- 藍色格子：UR 的矩形四角（核心結構）
- 黃色標註：推理時特別關注的候選
- 紅色標註：可以刪掉的候選 / 或者可以直接出數的位置
為了方便描述，本文把矩形中“除了核心對 {a,b} 之外還多出候選”的角稱為擴展格（也就是這個角“擴展”出了額外候選）。
類型 I：單擴展格出數（直接確定一個格子）
先看圖裏的 4 個藍色格子：它們構成一個矩形，並且都包含候選數字 1 和 7。
其中 r5c7 除了 1 和 7，還多了一個候選 2。
關鍵在於：如果 r5c7 的 2 不成立，那 r5c7 就只剩 1 和 7。
這樣一來，四個藍色格子就都只剩 1 和 7——矩形就可能出現兩種都能填得通的結果（1/7 對調），從而破壞唯一解。
所以在唯一解前提下，我們只能得出結論：
- r5c7 不能再保留 1 和 7
- 因此 r5c7 只能填 2
類型 II：雙擴展格刪數（刪掉“同時看見兩個擴展格”的 c）
這張圖裏，4 個藍色格子仍然構成一個矩形，核心候選是 3 和 4。
同時你會看到 r8c2、r8c3 這兩個藍色格子裏還額外包含候選 6（也就是 3、4、6）。
如果我們假設某個紅色格子（例如 r8c5 或 r9c3）裏的候選 6 為真，會發生什麼？
- 因為紅色格子能“同時看見” r8c2 和 r8c3
⇒ r8c2 和 r8c3 就都不能是 6
⇒ 它們會退化成只剩 3 和 4 - 這樣 4 個藍色格子就又回到了“只剩 3 和 4”的致命結構
⇒ 破壞唯一解
所以結論是：紅色格子裏的候選 6 不可能為真，可以刪除。
類型 III：把兩個擴展格當作一個“整體”，與其它格子組成數組
這張圖我們重點看 第 8 列：
- 第 8 列裏有兩個藍色格子：它們都包含候選 1 和 5
- 但這兩格還多了 4、6、9 這三個數字（也就是 1、5、4、6、9）
請注意一個很關鍵的“唯一解約束”：
- 這兩格里至少有一格必須使用 4、6、9 裏的某一個
- 否則它們倆都只用 1/5，就會讓矩形變成致命結構（破壞唯一解）
所以我們可以把“這兩個藍色格子裏多出來的 4、6、9”看成一個整體。
再看同一列裏上方的黃色格子 r1c8、r2c8：
這四個位置合在一起，就相當於在第 8 列裏形成了一個“顯性三數組”——數字 4、6、9 必須被限制在這幾格裏。
因此，第 8 列裏其它格子的 4、6、9 都可以刪除（圖中標紅的候選）。
類型 IV：共軛對逼迫擴展格，刪掉另一數字
這張圖裏，藍色矩形的核心候選依然是一對數字（這裏是 7 和 8）。
我們觀察 第 4 行：
候選數字 7 在這一行裏，剛好只出現在兩個藍色格子 r4c4、r4c5 中。
這意味着：
- r4c4 和 r4c5 中必然有一個是 7
在這種約束下，如果我們還允許 r4c4 / r4c5 保留候選 8，就會讓這個矩形仍然有機會退化成“致命結構”（破壞唯一解）。
所以這裏可以把 r4c4、r4c5 中的候選 8 刪除掉。
類型 V：擴展格刪數（刪掉“同時看見所有擴展格”的 c）
類型 V 的關鍵不是“必須有三個擴展格”，而是：
- 這個矩形裏有 2 或 3 個擴展格，它們都包含同一個額外候選 c
- 如果只有 2 個擴展格，它們通常不在同一行/列/宮（若在同一行/列/宮，更接近類型 II）
- 只要棋盤上某個格子的候選 c 能同時看見這些擴展格，就可以刪除
這張圖裏，4 個藍色格子構成矩形，它們的候選主要是 2、6、9。
其中有 3 個藍色格子都是 2、6、9，剩下 1 個藍色格子是 2、9（少了 6），所以這張圖屬於“三擴展格”的情況。
請看紅色格子 r8c7：它裏面有候選 6，並且它能同時看見那 3 個 “2、6、9” 的藍色格子。
如果假設 r8c7 的 6 為真：
- 那 3 個藍色格子就都不能再是 6
⇒ 它們會全部退化成只剩 2 和 9 - 這樣 4 個藍色格子就會變成“只剩 2 和 9”的致命結構
⇒ 破壞唯一解
所以結論很直接：r8c7 裏的候選 6 不可能成立，可以刪除。
3. 例子
本文的 1～5 圖，已經分別對應了類型 I～V。
你可以在練習時多對照幾次：先找藍色矩形，再看黃色/紅色提示的位置，就會越來越順手。
4. 如何尋找唯一矩形？
在實戰裏，你可以按這個順序去找：
- 先在棋盤上找“像矩形四角”的 4 個空格（兩行 × 兩列），並且只落在兩個宮裏
- 看這 4 個格子裏，是否都包含同一對核心候選（比如 1 和 7）
- 再看它們額外候選的分佈，通常就能對上某一種類型：
- 只有 1 個角多出別的候選 ⇒ 類型 I（常常能直接出數）
- 有 2 個角都多出同一個候選 c ⇒ 類型 II
- 某一行/列裏，擴展格的“額外候選”能和別的格子湊成數組 ⇒ 類型 III
- 在某個行/列/宮裏，其中一個核心數字只剩兩處，而且剛好在矩形裏 ⇒ 類型 IV
- 有 2～3 個角都多出同一個候選 c（2 個時通常不在同一行/列/宮）⇒ 類型 V
這就是唯一矩形：它的核心思路永遠只有一句話——不能讓矩形退化成“致命結構”，否則會破壞唯一解。