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數對和數組
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數對和數組
顯性/隱性數對數組
數對和數組是一類非常實用的“刪候選”技巧。它們看起來名字很多，但本質都在做同一件事：
在同一行、同一列或同一宮（下面統稱為一個 區域）裏，某幾格和某幾個數字互相“佔位”鎖定了，於是其它地方就不可能了。
你不需要背術語，記住這個直覺就夠了：
- 顯性：從“格子裏寫了什麼”出發（這幾格只剩這些數）
- 隱性：從“這個數字能去哪”出發（這幾個數只剩這些格）
1. 顯性數對（Naked Pair）
當同一個區域裏，有兩格都只剩下同一對候選數（比如 a、b），就形成顯性數對。
這意味着：
- 這兩格必然一格是 a，一格是 b（順序不確定）
- 所以這個區域裏其它空格不可能再是 a 或 b，可以把對應候選刪掉
先看下圖：請把注意力放在高亮的第三宮，以及兩個綠色格子 r2c9、r3c9。
你會發現：它們的候選數都只剩 1、5。
這表示：在第三宮裏，數字 1、5 必須由 r2c9 和 r3c9 來“佔位”。
圖中標紅的候選數，就是這一步可以刪除的候選。
再看紅色候選：r1c7、r2c7、r3c7 裏的候選數字 5 都可以刪除。
理由用一個反證就能看懂：
- 假設 r1c7 中的候選 5 為真（r2c7、r3c7 同理）
- 那麼第三宮裏已經放了一個 5，綠色格子 r2c9、r3c9 就都不能再是 5，只能被迫填 1
- 可是 r2c9 和 r3c9 在同一列（第 9 列），不可能同時都是 1 —— 矛盾
⇒ 紅色的候選 5 都可以安心刪掉
2. 隱性數對（Hidden Pair）
當同一個區域裏，候選數 a 只出現在兩格中，同時候選數 b 也只出現在同樣兩格中，就形成隱性數對。
注意：這兩格里可能還有別的候選數，但 a、b 已經被鎖定只能落在這兩格里。
所以我們可以：
- 把這兩格里 除 a、b 之外的其它候選數刪掉
先看下圖：請把注意力放在高亮的第 4 列。
把候選數字 4 和 5 在這一列裏出現的位置找出來，你會發現它們只出現在 r1c4 和 r6c4。
這表示：第 4 列裏的 4、5 必須由 r1c4 和 r6c4 來放。
圖中標紅的候選數，就是這一步可以刪除的候選。
所以我們可以刪掉 r1c4、r6c4 裏除 4、5 以外的其它候選。原因同樣很直覺：
- 假設 r1c4 填了一個不是 4 或 5 的數字
- 那麼 4 和 5 就只剩 r6c4 這一個格子可以放
- 可一個格子不可能同時放 4 和 5 —— 矛盾
⇒ r1c4、r6c4 只能是 4 或 5，其它候選都可以刪除
3. 顯性數組（Naked Triple / Quad）
把“顯性數對”推廣一下：
在同一個區域裏，如果 N 個格子的候選數合起來只包含 N 個數字（例如 3 格只包含 a、b、c），就形成顯性三數組；4 格同理是顯性四數組。
這意味着這 N 個數字只能在這 N 格里互相分配，所以：
- 這個區域裏其它空格的這些數字（例如 a、b、c）都可以刪掉
先看下圖：請把注意力放在高亮的第 8 行，以及 r8c1、r8c2、r8c4 這三個格子。
你會發現：它們的候選數合起來只包含 5、6、8。
這表示：第 8 行裏的 5、6、8 必須由 r8c1、r8c2、r8c4 來分配。
圖中標紅的候選數，就是這一步可以刪除的候選。
因此第 8 行其它格子裏標紅的 5、6、8 都可以刪掉。
反證的直覺是：
- 假設你在第 8 行的別的格子裏“佔走”了 5、6、8 其中一個
- 那麼這三個格子就只剩下 2 個數字去填 3 個格子
- 無論怎麼填都會出現重複或無解 —— 矛盾
4. 隱性數組（Hidden Triple / Quad）
把“隱性數對”推廣一下：
在同一個區域裏，如果某 N 個數字只出現在同樣的 N 個格子裏（即使這些格子裏還有其它候選數），就形成隱性三數組或四數組。
這意味着這 N 個數字被鎖定只能落在這 N 格里，所以：
- 這 N 個格子裏 除這 N 個數字之外的其它候選數都可以刪掉
先看下圖：請把注意力放在高亮的第 5 列。
你會發現：候選數字 4、7、8 只出現在 r1c5、r8c5、r9c5。
這表示：第 5 列裏的 4、7、8 必須由 r1c5、r8c5、r9c5 來放。
圖中標紅的候選數，就是這一步可以刪除的候選。
所以我們可以把這三個格子裏除 4、7、8 之外的其它候選全部刪掉。
原因同樣很直覺：
- 假如其中任意一個格子填了別的數字
- 那麼 4、7、8 就會“擠不下”（只剩 2 格卻要放 3 個數字）—— 矛盾
5. 更容易找到的小建議
- 先把候選數儘量寫完整（難題裏幾乎離不開它）
- 先掃顯性：從“候選數特別少”的格子開始看（2、3 或 4 個候選最醒目）
- 再掃隱性：在一個區域裏，看看某個數字是不是“只剩兩格、三格或四格能放”
- 刪完候選後別急着走：回頭看一眼是否出現了“只剩一個候選”的格子，或“某個數字只剩一個位置”